解析函数

复变函数的导数

先讲导数，与实数函数没有区别。只要 $li{m}_{\Delta x{\to }_0,\Delta y{\to }_0}\frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta x+i\Delta y}$ 存在，就可导
可导一定连续，连续不一定可导

定义

邻域内都可导，就叫可解析
所以：可解析一定可导，可导不一定可解析
（理解为导函数向量也不是不行，有实轴虚轴两个分量）
$f：D\to G,f(D)\subset G,若f在D中每一点都解析，则f为解析函数$
$f:C\to C,f在C上解析，则f为整函数$

判定：柯西-黎曼法则

函数可解析的充要条件是：u, v 在 x, y 处可微，且
$J=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial x}& \frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}& \frac{\partial v}{\partial y}\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]$
即 $\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\end{array}$
函数在满足这些条件的区域上可解析，当然也可导
同时有 $f^{\prime }(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\dots$

证明（简略不严谨版）

令 $f^{\prime }(z)=a+bi$ , $w=f(z)=u+iv$, $z=x+iy$
$df=f(z+dz)-f(z)=f^{\prime }(z)dz=(a+bi)(dx+idy)=(adx-bdy)+i(ady+bdx)$
又 $df=du+idv$
$\therefore du=adx-bdy$
$\therefore a=\frac{\partial u}{\partial x},-b=\frac{\partial u}{\partial y}$
其余同理可证

延伸

若 $w=f(z)$ 在 $z_0$ 不解析，则 $z_0$ 称为 f (z) 的奇点

复函数解析性的经验判断方法

1. 【仅关于 的多项式与有理式】
   只含 $z$ 的多项式 ($z^n$, $az+b$ 等) 和有理函数 ($\frac{P(z)}{Q(z)}$), 其中 $P,Q$ 为多项式), 在定义域 (即分母不为零的地方) 都解析。
2. 【复变初等函数】
   如 $e^z$, $sinz$, $cosz$, $lnz$, $\sqrt{z}$ 等复函数, 在其“标准定义域”内均解析。连乘、复合、加减的结果在交定义域内解析。

一般的，对于整函数（在复平面 R 上解析的函数），其奇点只能来自于其宗量，比如：
基本函数在去掉其所有奇点后的区域内是解析的（全纯的）