基本函数

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复指数函数

定义

$e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$

性质 ：

1. $e^z\ne 0$
2. $e^{z+i2\pi }=e^z$ 周期性
3. $e^{z+w}=e^z{e}^w$
4. $(e^z{)}^{\prime }=e^z$
5. $|e^z|=e^x=e^{\mathrm{Re}z}$
6. $Arg(e^z)=y+2k\pi$

对数函数

定义

若 $z=e^w$, 则 w=Lnz

性质 ：

$Lnz=\ln z+i2k\pi =\ln |z|+iArgz=\ln |z|+iargz+i2k\pi$
$\ln z=\ln |z|+iargz$
为多值函数，lnz 为函数主值（其辅角为 $(-\pi ,\pi ]$）。
k=0 的分支称为对数函数的主支
由此可以推导一些性质，比如：
单支上： $Ln{z}^{\prime }=(\ln z+i_{2}k\pi {)}^{\prime }=\frac{1}{z}$
$Ln(z_1{z}_2)=\ln z_1+\ln z_2$
$\ln \frac{z_1}{z_2}=\ln z_1-\ln z_2$

幂函数

定义

$w=z^b=e^{bLnz}=e^{b\ln z}+e^{ib2k\pi }$
为多值函数（$e^{blnz}为主值$）

性质

b 整数：w 单值；
b 有理数：w 有限多值
b 无理数且虚部不为零：w 无穷多值

求导： $(z^b{)}^{\prime }=(e^{bLnz}{)}^{\prime }=z^{b}b\frac{1}{z}=b{z}^{b-1}$

三角函数与双曲函数

$\mathrm{sinz}=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{iz}}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{iz}}}{2\mathrm{i}}$
$\mathrm{cosz}=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{iz}}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{iz}}}{2}$
$\mathrm{shz}=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathbf{z}}-{\mathrm{e}}^{-\mathbf{z}}}{2}$
$\mathrm{chz}=\frac{{\mathrm{e}}^z+{\mathrm{e}}^{-z}}{2}$

性质

$(\sin z{)}^{\prime }=\cos z,sh{z}^{\prime }=chz$
$(\sin z{)}^2+(\cos z{)}^2=1$
转换关系;
$\cos (iz)=chz;\sin (iz)=ishz;ch(iz)=\cos z;sh(iz)=i\sin z$

反三角函数

其他

多项式函数
有理函数