分式线性映射

Abstract

1. 先对线进行映射
2. 任取一个点判断与线的相对位置，确定区域在线的哪侧

性质

保圆性

广义圆
对于保角双射：充要：是分式线性映射⟺是保圆变换
若所有点都不映射为无穷，则映射为半径有限的圆。若有某个点映射为无穷，则映射为直线。

保对称性

若 z 1, z 2 关于广义圆对称，则 w 1, w 2 关于象曲线对称

保交比不变性

保交比不变性是指在射影变换下，四个共线点的交比保持不变。

设 $z_1,z_2,z_3,z_4$ 是四个不同的复数，它们的交比定义为：
$(z_1,z_2;z_3,z_4)=\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}$

对于分式线性映射 $w=\frac{az+b}{cz+d}$，有：
$(w_1,w_2;w_3,w_4)=(z_1,z_2;z_3,z_4)$

特殊情况

上半平面映射到单位圆内部

将上半平面 $\text{Im}(z)>0$ 映射到单位圆内部 $|w|<1$ 的分式线性映射为：$z_0$ 映射到 w=0
$w=e^{i\theta }\frac{z-z_0}{z-\overline{z_0}}$
其中 $z_0$ 是上半平面内的任意一点，$\theta$ 为实数。

单位圆映射到单位圆

将单位圆 $|z|<1$ 映射到单位圆 $|w|<1$ 的分式线性映射为：$z_0$ 映射到 w=0
$w=e^{i\theta }\frac{z-z_0}{1-\overline{z_0}z}$
其中 $|\alpha |<1$，$\theta$ 为实数。