保角映射基础

判定

在复分析中，保角映射 (conformal mapping) 通常是指：

1. 在区域 $D\subset \mathbb{C}$ 上的函数 $f:D\to \mathbb{C};$
2. 且导数 $f^{\prime }(z)\ne 0$ 在 $D$ 内处处成立。
   这时，$f$ 在 $D$ 内是保角的 (保持角度和方向)。

基本映射

1. 相似映射：保持形状不变，仅改变大小的映射，形式为 $f(z)=az+b$，其中 $a$ 为非零复数
2. 旋转映射：绕原点旋转角度的映射，形式为 $f(z)=e^{i\theta }z$，其中 $\theta$ 为旋转角度
3. 平移映射：将复平面整体移动的映射，形式为 $f(z)=z+b$，其中 $b$ 为复数
4. 对称映射：关于直线或圆的反射映射 $f(z)=\frac{1}{\overline{z}}$ ($z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$)

倒数映射

关于圆周对称+关于直线对称
保圆性（广义圆）

幂函数映射

扩大角域
逆映射：根式函数（多值，对每一支一一对应，k=0 为主支）

指数映射

$w=e^x{e}^{iy}$
将复平面上的水平带状区域映射到复平面的角域
不是互为单值的映射，划分为带域 $(2k-1)\pi <z<(2k+1)\pi$, 任意带域单值映射到复实轴有裂缝的 w 平面。

分式线性映射

Abstract

1. 先对线进行映射
2. 任取一个点判断与线的相对位置，确定区域在线的哪侧

性质

保圆性

广义圆
对于保角双射：充要：是分式线性映射⟺是保圆变换
若所有点都不映射为无穷，则映射为半径有限的圆。若有某个点映射为无穷，则映射为直线。

保对称性

若 z 1, z 2 关于广义圆对称，则 w 1, w 2 关于象曲线对称

保交比不变性

保交比不变性是指在射影变换下，四个共线点的交比保持不变。

设 $z_1,z_2,z_3,z_4$ 是四个不同的复数，它们的交比定义为：
$(z_1,z_2;z_3,z_4)=\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}$

对于分式线性映射 $w=\frac{az+b}{cz+d}$，有：
$(w_1,w_2;w_3,w_4)=(z_1,z_2;z_3,z_4)$

特殊情况

上半平面映射到单位圆内部

将上半平面 $\text{Im}(z)>0$ 映射到单位圆内部 $|w|<1$ 的分式线性映射为：$z_0$ 映射到 w=0
$w=e^{i\theta }\frac{z-z_0}{z-\overline{z_0}}$
其中 $z_0$ 是上半平面内的任意一点，$\theta$ 为实数。

单位圆映射到单位圆

将单位圆 $|z|<1$ 映射到单位圆 $|w|<1$ 的分式线性映射为：$z_0$ 映射到 w=0
$w=e^{i\theta }\frac{z-z_0}{1-\overline{z_0}z}$
其中 $|\alpha |<1$，$\theta$ 为实数。

Link to original

选择交点 (0 & ∞) → 将区域变为角形 → 利用第三点确定旋转/伸缩 → 得到最终映射。
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典型映射：