春学期 林智 89/4.5

何为常微分方程?

• 定义

  解：y=φ（x）

  积分：φ（x,y）=0 （无法拆分x,y）

  积分曲线：解或积分在平面上的图形

  n阶：\(F（x(可有可无)，y,y’,…y^n）=0\)（显式一般更好解）

  定义区间：y在区间内连续且有连续的n阶导数

  通解：独立常量个数（C1…Cn）与阶数相同

  初值条件：n个，当x0时，y的各阶导数的值

  设 y = φ(x) 在某区间 x ∈ (a, b) 内连续并有连续的一阶导数，且
  在该区间内满足
  F(x, φ(x), φ′(x)) ≡ 0 或 φ′(x) ≡ f(x, φ(x))
  则称 y = φ(x) 为上述一阶常微分方程的一个解，而区间 (a, b)为该解的定义区间。

• 存在唯一性：
  初值条件确定解的存在性； 定义区间上f连续且对\(y^{(n)}\)有连续的偏导数确定解的唯一性

  关键前提：在之前定义之下（包括不要求的控制条件）解存在且唯一

  常微分方程的分类与解法「识别，转化，求解」

  一阶：

• 可分离变量方程

  1. 微分方程：\(1/g(y) dy=f(x)dx\)

  2. 若g(y0)=0,则y0为方程的解 「有可能包含在通解内」

• 齐次微分方程
  1. 微分方程：\(dy/dx =g(y/x)\)
  2. 解法：令 u=y/x
  3. g()为 零次齐次函数

• 一阶线性(未知函数与导数是一次的)微分方程

  1. 方程形式：\(dy/dx+p(x)y=q(x)\)
  2. 解法(常数变易法)：先观察特殊的齐次方程：\(dy/dx+p(x)y=0\)⇒\(y=Ce^{-\int p(x)dx}\)

  3.对于一般的非齐次方程：线性叠加原理：令\(y=u(x)e^{-\int p(x)dx}\),带回求u(x)非齐次通解=非齐次特解+齐次通解===\(e^{-\int p(x)dx }(\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C)\)

  \[\mu(x)=e^{\int P(x)dx}\]

  满足初值条件\(y|_{x=x_0} = y_0\)的解可写成\(y = e^{-\int_{x_0}^x p(\xi) d\xi}(*\int_{x_0}^x f(\zeta) e^{\int_{x_0}^\zeta p(\xi) d\xi} d\zeta + y_0)\),在区间\(a < x < b\)内都适用。
  关注初值条件、定义区间（特别是不在定义区间内的特殊点，比如分母为0）！！

• 伯努利方程
  1. 方程形式：\(dy/dx+p(x)y=q(x)y^\alpha\)
  2. 解法：(同除\(y^\alpha\))换元令\(z=y^{1-\alpha}\)，变为一阶线性微分方程

• 全微分方程

  • 概念

    \(M(x,y)dx+ N(x,y)dy= du(x,y)\)=0

  • 判定

    \[\frac{\partial M}{\partial y} \equiv \frac{\partial N}{\partial x}\]
  • 求原函数u(x,y)

    • 法一：曲线积分

      \[u(x,y) = \int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} M(x,y)dx+ N(x,y)dy=\int_{x_{0}}^{x} M(\xi, y_{0}) d \xi+\int_{y_{0}}^{y} N(x, \eta) d \eta,\]
    • 法二：不定积分
      1. 有\(\frac{\partial u}{\partial x} = M(x.y)\)
      2. 得\(u(x,y) = \int M(x,y)dx + \varphi(y)\)
      3. 又有\(\frac{\partial u}{\partial y} = N(x,y)\)
      4. 所以\(\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \int M(x,y)dx + \varphi'(y) = N(x,y)\)
      5. 可解得\(\phi (y)\)

    • 法三：硬凑

      • 一些典型形式

        \(ydx + xdy = d(xy),\)
        \(\frac{ydx-xdy}{y^2} = d(\frac{x}{y})\)
        \(\frac{-ydx+xdy}{x^2} = d(\frac{y}{x}),\)
        \(\frac{-ydx + xdy}{x^2 + y^2} = d(\arctan \frac{y}{x}),\)
        \(\frac{ydx - xdy}{x^2 - y^2} = d(\frac{1}{2}\ln |\frac{x-y}{x+y}|),\)

      分项组合，凑典型形式

  • 法四：积分因子法：

    对于不满足判定的，通过乘u(x,y)使之满足全微分方程

    分项组合，构造典型形式

    • 求积分因子（不一定唯一）

      μ满足
      \(\frac{\partial \mu M}{\partial y} = \frac{\partial \mu N}{\partial x} \Rightarrow N\frac{\partial \mu}{\partial x} - M\frac{\partial \mu}{\partial y} = (\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x})\mu\)

      如何找积分因子
      一般情况下,上述方程并不容易解。。。但在特殊情况下:
      ● 存在µ与y无关: \(\mu \equiv \mu(x)\)
      \(\Rightarrow \frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} \equiv \varphi(x) = \frac{1}{\mu} \cdot \frac{d\mu}{dx}\)
      ● 存在µ与x无关: \(\mu \equiv \mu(y)\)
      \(\Rightarrow \frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{-M} \equiv \psi(y) = \frac{1}{\mu} \cdot \frac{d\mu}{dy}\)

      解以上两个可分离变量方程可得
      \(\mu = e^{\int \varphi(x)dx} 或 \mu = e^{\int \psi(y)dy}\)
      乘以原方程 的两边即得一个全微分方程并求解

    条件	积分因子表达式	说明
    \(\frac{M_y-N_x}{N} = f(x)\)	\(\mu(x) = e^{\int f(x)dx}\)	积分因子仅是x的函数
    \(\frac{N_x-M_y}{M} = g(y)\)	\(\mu(y) = e^{\int g(y)dy}\)	积分因子仅是y的函数
    \(\frac{M_y-N_x}{yM-xN} = h(xy)\)	\(\mu(xy) = e^{\int h(xy)d(xy)}\)	积分因子是xy的函数
    \(\frac{M_y-N_x}{yM+xN} = p(x^2 + y^2)\)	\(\mu(x^2 + y^2) = e^{\int p(x^2+y^2)d(x^2+y^2)}\)	积分因子是\(x^2 + y^2\)的函数
    \(\frac{M_y-N_x}{xM+yN} = q(\frac{y}{x})\)	\(\mu(\frac{y}{x}) = e^{\int q(\frac{y}{x})d(\frac{y}{x})}\)	积分因子是\(\frac{y}{x}\)的函数
    \(\frac{M_y-N_x}{xM-yN} = r(x + y)\)	\(\mu(x + y) = e^{\int r(x+y)d(x+y)}\)	积分因子是x+y的函数
    \(\frac{M_y-N_x}{xM-yN} = s(x - y)\)	\(\mu(x - y) = e^{\int s(x-y)d(x-y)}\)	积分因子是x-y的函数

二阶特殊形式：求解：

• 可降阶的：
  • \[\frac {d^2y}{dx^2}=f(x)\]

    两次求导

  • \[\frac {d^2y}{dx^2}=f(x,\frac {dy}{dx})\]

    换元，令\(\frac {dy}{dx}=p\)(关键在于保证只有两个变量)

  • \(f(y,\frac {dy}{dx})\)【自治方程】

    以y为自变量，p为未知函数

    得p=\(\phi (y)\)=y’,再解一次微分方程

    本质上通过换元（自变量与未知函数），进行两次一阶微分方程求解

    若有初值条件，在进行了一次一阶微分方程求解后，即可使用初值条件确定一个C

• 二阶常系数线性齐次微分方程：\(\frac {d^2y}{dx^2}+p\frac {dy}{dx}+qy=0\)

  根的类型	特征方程	特征根	通解	解的特征
  两个不相等的实根	\(r^2 + pr + q = 0\)	\(λ_1\neq λ₂\)	\(y = C_1 e^{λ₁x} + C_2 e^{λ₂x}\)	两个线性无关的指数函数
  两个相等的实根	\(r^2 + pr + q = 0\)	\(r_1 = r_2 = λ\)	\(y = (C_1+ C_2x )e^{λx}\)	指数函数与线性项乘积
  两个共轭复根	\(r^2 + pr + q = 0\)	\(r_{1,2} = a \pm bi\)	\(y = e^{ax}(C_1 \cos bx + C_2 \sin bx)\)	振荡型指数函数

• 二阶常系数线性非齐次微分方程：\(\frac {d^2y}{dx^2}+p\frac {dy}{dx}+qy=f(x)\)
  • 求特解（根据右侧函数形式对 y 的形式做出假设，求解）：

    • \(f(x)=P_n(x)e^{\alpha x}\):（\(P_n(x)\)为n次多项式）

      思路：令y=\(u(x)e^{\alpha x}\),利用多项式的性质求解

      结论：α不是特征方程的根（0 重→n 次）：y=\(Q_n(x)e^{\alpha x}\)；α是单根（1 重→n+1 次）：y=\(xQ_n(x)e^{\alpha x}\)；α是二重根（2 重→n+2 次）：\(y=x^2Q_n(x)e^{\alpha x}\)

    • \[f(x) = [P_n^1(x) \cos \beta x +P_l^2(x) \sin \beta x]e^{\alpha x}\]

二阶一般形式：解的结构：

• \(\frac {d^2y}{dx^2}+p(x)\frac {dy}{dx}+q(x)y=f(x)\)(非齐次)
  1. 微分算子L(y)运算规则:L(Cy)=CL(y),L(y1+y2)=L(y1)+L(y2)
  2. ⇒若y1,y2线性无关，齐次的通解：Y=C1y1+C2y2==（求齐次的通解只须求两个特解）==
  3. 非齐次的通解y=Y+\(y_0\)(非齐次的特解)

线性微分方程解的一般结构

概念

L[y]为算子，一种映射，对函数y的函数

• 线性算子性质

  L(Cy)=CL(y),L(y1+y2)=L(y1)+L(y2)，即L（c1y1+c2y2）=c1L(y1)+c2L(y2)

  齐次线性方程不同解的线性组合仍是它的解

• 函数线性相关，线性无关

• 朗斯基行列式 性质：要不恒为0；要不恒不为0 充要条件：不同解之间线性相关/无关↔朗斯基行列式(处处)等于/不等于0

通解结构

• 一些铺垫性质
  • n 阶齐次线性方程若有n个线性无关的解,它们的任意线性组合即为通解(含n个待定系数)
  • 一定有：n 阶齐次方程必有 n 个线性无关的解(它们的集合称为基本解组——联想向量基)
  • ⇒所有解的组合构成n维线性空间

线性微分方程组

原理：

任意n阶常微分方程都可以转化为一阶n维（元）常系数方程组: \(\frac{\mathrm{d}^{n} x}{\mathrm{d} t^{n}}=f\left(t, x, \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}, \ldots, \frac{\mathrm{d}^{n-1} x}{\mathrm{d} t^{n-1}}\right)\),令\(x = x_1, \frac{dx_1}{dt} = x_2, \dots, \frac{dx_{n-1}}{dt} = x_n\)，有： \(\begin{cases} \frac{dx_1}{dt} = x_2, \\ \frac{dx_2}{dt} = x_3, \\ \cdots \\ \frac{dx_{n-1}}{dt} = x_n, \\ \frac{dx_n}{dt} = f(t, x_1, \cdots, x_n). \end{cases}\)

意义：说明了与线性微分方程的关联性

e.g.通解结构：齐次方程通解+非齐次方程特解↔\(x = X(t)c + x^*(t)\)

变动常数法：\(y = u_1 y_1(x) + u_2 y_2(x)\)↔\(x = X(t)c(t)\)

特征方程法：特征根法↔\(\frac{dx}{dt}=Ax\), 通过求解特征方程\(det(A - \lambda I)=0\)获得基解矩阵

概念

基本解组：\(x_1(t),...,x_n(t)\) 基本解矩阵：\(X(t) = (x_1(t), ..., x_n(t))\) 朗斯基行列式：\(W(t) = \det \mathbf{X}(t) = \begin{vmatrix} x_{11}(t) & \cdots & x_{1n}(t) \\ \vdots & & \vdots \\ x_{n1}(t) & \cdots & x_{nm}(t) \end{vmatrix}\)

• 朗斯基行列式

  性质：要不恒为0；要不恒不为0

  充要条件：不同解之间线性相关/无关↔朗斯基行列式(处处)等于/不等于0

解法：

• 齐次：

  \(\frac{dx}{dt} = Ax\)，令\(x = v e^{\lambda t}\)，下求v,λ：

  带入，有：\(v\lambda e^{\lambda t} = Av e^{\lambda t}\)⇒\((A - \lambda E) v = 0\)

  要使v有非零解，则\(\| \mathbf{A} - \lambda E \|= 0\)

  求得λ，v（高斯消元法或比例法），分类讨论：

  若所有特征根λ都是单根：

  \(x_i=\mathbf{v}_i e^{\lambda_i t}\) 【n*1矩阵/ n维向量】

  \(x = \sum_{i=1}^{n} c_i \mathbf{v}_i e^{\lambda_i t}\)=\(X(t)c\) （c 是一个n维的任意常向量）【n*n矩阵】

  有复数根

  由于复数特征值与特征向量均共轭，故只需求==一个==特征值所对应的特征向量，将该向量实部虚部拆成两项即可

  有重根

  设矩阵A的特征方程有k重特征根\(\lambda_0\),则
  对应于\(\lambda_0\),方程组有下述形式的k个线性无关的解:
  \(x(t) = (v_0 + \frac{t}{1!}v_1 + \frac{t^2}{2!}v_2 + \cdots + \frac{t^{k-1}}{(k-1)!}v_{k-1})e^{\lambda_0 t}\)

  \((A - \lambda_0 E) v_0 = v_1\)
  \((A - \lambda_0 E) v_1 = v_2\)……

  \[(A-\lambda_0 E)^k v_0 = 0\]

  对于矩阵A和特征值入,广义特征向量v的阶数k是满足以下条件的最小整数:
  \((A - \lambda I)^k \mathbf{v} = 0\)且 \((A - \lambda I)^{k-1} \mathbf{v} \neq 0\).

  • 当\(k = 1\)时, \(\mathbf{v}\) 是普通特征向量(即 \((A - \lambda I)\mathbf{v} = 0\))。
  • 当\(k \geq 2时, \mathbf{v}\)是广义特征向量。

• 非齐次：

  \[\frac{dx}{dt}=A(t)x+f(t)\]

  变动任意常数法：

  \[x = X(t)c(t)\]

  带回原式：

  \[\frac{dx}{dt} = \frac{dX(t)}{dt} c(t) + X(t) \frac{dc(t)}{dt}\] \[= A(t) X(t) c + X(t) \frac{dc(t)}{dt}\]

  最终有：\(X(t)c'(t) = f(t)\)

  \[c(t) = \int_{t_0}^t X^{-1}(\tau)f(\tau)d\tau\] \[x(t) = X(t)c + X(t) \int_{t_0}^t X^{-1}(\tau) f(\tau) d\tau\]