留数概念

定义

在复变函数中，留数（Residue）是复分析中的一个核心概念，用于计算复平面上的围道积分。

设函数 $f (z)$ 在孤立奇点 $z_{0}$ 的去心邻域内解析，则 $f (z)$ 可展开为洛朗级数： $f (z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} a_{n} (z - z_{0})^{n}$

其中系数：
$a_{n} = \frac{1}{2 πi} \oint_{C} \frac{f ( z )}{( z - z _{0} ) ^{n + 1}} d z$

留数定义：系数 $a_{- 1}$ 称为函数 $f (z)$ 在奇点 $z_{0}$ 处的留数，记作：
$Res [f (z), z_{0}] = a_{- 1} = \frac{1}{2 πi} \oint_{C} f (z) d z$

直观理解

积分（绕圈）：你绕圈时，会经过这个水坑。虽然你大部分时间都在平坦的坡道上行驶，但每次经过水坑时，你的车轮都会陷进去一下，然后又出来。这个“陷进去又出来”的过程，会对你整体的行驶产生一个净效应。

留数：这个净效应，就是留数！