泰勒级数

Abstract

先判定收敛半径

收敛半径：离原点最近的奇点到原点的距离、

公式

当 $f(z)={\sum }_{n=0}^{+\infty }{C}_n(z-z_0{)}^n$ ，$f_z在|z-z_0|<R解析$
则：
泰勒级数系数：$C_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}$ 【与实数域上泰勒展开一致】
另外：由柯西积分公式，有：$C_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}=2\pi i{\oint }_c\frac{f(s)}{(s-z_0{)}^{n+1}}ds$, 其中 c 在解析域内

求法

级数代入法

复合函数。对外函数泰勒展开，直接用内函数把变量替换掉

加减变换

提出典型的泰勒展开项并展开

积分微分

积分微分为典型的泰勒展开项，然后变回