利用留数求定积分

${\int }_0^{2\pi }R(\cos \theta ,\sin \theta )d\theta$

令 $z=e^{i\theta }$ 去路径为圆周 $|z|=1$
$cos\theta =\frac{z+z^{-1}}{2},\sin \theta =\frac{z-z^{-1}}{2i},d\theta =\frac{1}{iz}dz$

${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$

若 $f(z)$ 在 复平面除有限个孤立奇点外解析，且 极点不在实轴上。对有理函数，且分母次数比分子高至少2次。
有结论 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }R(x)dx=2\pi i\sum f(z)在上半平面极点处留数=-2\pi if(z)在下半平面极点处留数$

${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{iax}dx$

若 $f(z)$ 在复平面除有限个孤立奇点外解析，且极点不在实轴上。对有理函数，且分母次数比分子高至少1次。
有结论 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{iax}dx=2\pi i\sum f(z)e^{iaz}在上半平面极点处留数$
另：对于形如 $\cos axf(x)=\mathrm{Re}(f(x)e^{iax})$
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