常微分方程

何为常微分方程?

• 定义

  解：y=$\phi （x）$

  积分：$\phi （x,y）=0$[x,y拆分不开]（无法分开x,y）

  积分曲线：解或积分在平面上的图形

  n阶：$F（x(可有可无)，y,y’,\dots y^n）=0$（显式一般更好解）

  定义区间：y在区间内连续且有连续的n阶导数

  通解：独立常量个数（C1…Cn）与阶数相同

  初值条件：n个，当x0时，y的各阶导数的值

  设 y = φ(x) 在某区间 x ∈ (a, b) 内连续并有连续的一阶导数，且
  在该区间内满足
  F(x, φ(x), φ′(x)) ≡ 0 或 φ′(x) ≡ f(x, φ(x))
  则称 y = φ(x) 为上述一阶常微分方程的一个解，而区间 (a, b)为该解的定义区间。

  Important

  • 存在唯一性：

    初值条件确定解的存在性；

    定义区间上f连续且对$y^{(n)}$有连续的偏导数确定解的唯一性

关键前提：在之前定义之下（包括不要求的控制条件）解存在且唯一

常微分方程的分类与解法「识别，转化，求解」

一阶：

• 可分离变量方程

  1. 微分方程：$1/g(y)dy=f(x)dx$

  2. 若g(y0)=0,则y0为方程的解 「有可能包含在通解内」

• 齐次微分方程

  1. 微分方程：$dy/dx=g(y/x)$
  2. 解法：令 u=y/x
  3. g()为 零次齐次函数

• 一阶线性(未知函数与导数是一次的)微分方程

  1. 方程形式：$dy/dx+p(x)y=q(x)$
  2. 解法(常数变易法)：先观察特殊的齐次方程：$dy/dx+p(x)y=0$⇒$y=C{e}^{-\int p(x)dx}$

  3.对于一般的非齐次方程：线性叠加原理：令$y=u(x)e^{-\int p(x)dx}$,带回求u(x)非齐次通解=非齐次特解+齐次通解===$e^{-\int p(x)dx}(\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx$==$+C)$

  $\mu (x)=e^{\int P(x)dx}$

  满足初值条件 $y{|}_{x=x_0}=y_0$的解可写成
  ==$y=e^{-{\int }_{x_0}^{x}p(\xi )d\xi }[{\int }_{x_0}^{x}f(\zeta )e^{{\int }_{x_0}^{\zeta }p(\xi )d\xi }d\zeta +y_0]$==
  在区间$a<x<b$内都适用.

  关注初值条件、定义区间（特别是不在定义区间内的特殊点，比如分母为0）！！

• 伯努利方程

  1. 方程形式：$dy/dx+p(x)y=q(x)y^{\alpha }$
  2. 解法：(同除$y^{\alpha }$)换元令$z=y^{1-\alpha }$，变为一阶线性微分方程

• 全微分方程

  • 概念

    $M(x,y)dx+N(x,y)dy=du(x,y)$=0

  • 判定

    $\frac{\partial M}{\partial y}\equiv \frac{\partial N}{\partial x}$

  • 求原函数u(x,y)

    • 法一：曲线积分

      u(x,y) = \int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} M(x,y)dx+ N(x,y)dy=$$\int_{x_{0}}^{x} M(\xi, y_{0}) d \xi+\int_{y_{0}}^{y} N(x, \eta) d \eta,

    • 法二：不定积分

      1. 有$\frac{\partial u}{\partial x}=M(x.y)$
      2. 得$u(x,y)=\int M(x,y)dx+\phi (y)$
      3. 又有$\frac{\partial u}{\partial y}=N(x,y)$
      4. 所以$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\int M(x,y)dx+{\phi }^{\prime }(y)=N(x,y)$
      5. 可解得$\varphi (y)$

    • 法三：硬凑

      • 一些典型形式

        $ydx+xdy=d(xy),$
        $\frac{ydx-xdy}{y^2}=d(\frac{x}{y})$
        $\frac{-ydx+xdy}{x^2}=d(\frac{y}{x}),$
        $\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}=d(\arctan \frac{y}{x}),$
        $\frac{ydx-xdy}{x^2-y^2}=d(\frac{1}{2}\ln |\frac{x-y}{x+y}|),$

      分项组合，凑典型形式

  • 法四：==积分因子法==：

    对于不满足判定的，通过乘u(x,y)使之满足全微分方程

    分项组合，构造典型形式

    • 求积分因子（不一定唯一）

      μ满足
      $\frac{\partial \mu M}{\partial y}=\frac{\partial \mu N}{\partial x}\Rightarrow N\frac{\partial \mu }{\partial x}-M\frac{\partial \mu }{\partial y}=(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x})\mu$

      如何找积分因子
      一般情况下,上述方程并不容易解。。。但在特殊情况下:
      ● 存在µ与y无关: $\mu \equiv \mu (x)$
      $\Rightarrow \frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}\equiv \phi (x)=\frac{1}{\mu }\cdot \frac{d\mu }{dx}$
      ● 存在µ与x无关: $\mu \equiv \mu (y)$
      $\Rightarrow \frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{-M}\equiv \psi (y)=\frac{1}{\mu }\cdot \frac{d\mu }{dy}$

      解以上两个可分离变量方程可得
      $\mu =e^{\int \phi (x)dx}或\mu =e^{\int \psi (y)dy}$
      乘以原方程 的两边即得一个全微分方程并求解

    条件	积分因子表达式	说明
    $\frac{M_y-N_x}{N}=f(x)$	$\mu (x)=e^{\int f(x)dx}$	积分因子仅是$x$的函数
    $\frac{N_x-M_y}{M}=g(y)$	$\mu (y)=e^{\int g(y)dy}$	积分因子仅是$y$的函数
    $\frac{M_y-N_x}{yM-xN}=h(xy)$	$\mu (xy)=e^{\int h(xy)d(xy)}$	积分因子是$xy$的函数
    $\frac{M_y-N_x}{yM+xN}=p(x^2+y^2)$	$\mu (x^2+y^2)=e^{\int p(x^2+y^2)d(x^2+y^2)}$	积分因子是$x^2+y^2$的函数
    $\frac{M_y-N_x}{xM+yN}=q(\frac{y}{x})$	$\mu (\frac{y}{x})=e^{\int q(\frac{y}{x})d(\frac{y}{x})}$	积分因子是$\frac{y}{x}$的函数
    $\frac{M_y-N_x}{xM-yN}=r(x+y)$	$\mu (x+y)=e^{\int r(x+y)d(x+y)}$	积分因子是$x+y$的函数
    $\frac{M_y-N_x}{xM-yN}=s(x-y)$	$\mu (x-y)=e^{\int s(x-y)d(x-y)}$	积分因子是$x-y$的函数

二阶特殊形式：求解：

• 可降阶的：

  • $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=f(x)$

    两次求导

  • $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=f(x,\frac{dy}{dx})$

    换元，令$\frac{dy}{dx}=p$(关键在于保证只有两个变量)

  • $f(y,\frac{dy}{dx})$【自治方程】

    以y为自变量，p为未知函数

    得p=$\varphi (y)$=y’,再解一次微分方程

    本质上通过换元（自变量与未知函数），进行两次一阶微分方程求解

    若有初值条件，在进行了一次一阶微分方程求解后，即可使用初值条件确定一个C

• 二阶常系数线性齐次微分方程：$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+p\frac{dy}{dx}+qy=0$

  根的类型	特征方程	特征根	通解	解的特征
  两个不相等的实根	$r^2+pr+q=0$	${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$	$y=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}$	两个线性无关的指数函数
  两个相等的实根	$r^2+pr+q=0$	$r_1=r_2=\lambda$	$y=(C_1+C_{2}x)e^{\lambda x}$	指数函数与线性项乘积
  两个共轭复根	$r^2+pr+q=0$	$r_{1,2}=a\pm bi$	$y=e^{ax}(C_1\cos bx+C_2\sin bx)$	振荡型指数函数

• 二阶常系数线性非齐次微分方程：$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+p\frac{dy}{dx}+qy=f(x)$

  • 求特解（根据右侧函数形式对 y 的形式做出假设，求解）：

    • $f(x)=P_n(x)e^{\alpha x}$:（$P_n(x)$为n次多项式）

      思路：令y=$u(x)e^{\alpha x}$,利用多项式的性质求解

      结论：α不是特征方程的根（0 重→n 次）：y=$Q_n(x)e^{\alpha x}$；α是单根（1 重→n+1 次）：y=$x{Q}_n(x)e^{\alpha x}$；α是二重根（2 重→n+2 次）：$y=x^2{Q}_n(x)e^{\alpha x}$

    • $f(x)=[P_n^1(x)\cos \beta x+P_l^2(x)\sin \beta x]e^{\alpha x}$

二阶一般形式：解的结构：

• $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=f(x)$(非齐次)
  1. 微分算子L(y)运算规则:L(Cy)=CL(y),L(y1+y2)=L(y1)+L(y2)
  2. ⇒若y1,y2线性无关，齐次的通解：Y=C1y1+C2y2（求齐次的通解只须求两个特解）
  3. 非齐次的通解y=Y+$y_0$(非齐次的特解)

线性微分方程解的一般结构

概念

$\frac{d^{n}y}{d{x}^n}+p_1(x)\frac{d^{n-1}y}{d{x}^{n-1}}+\cdots +p_{n-1}(x)\frac{dy}{dx}+p_n(x)y\equiv L[y]=f(x)(2.1)$
L[y]为算子，一种映射，对函数y的函数
$f(x)\equiv 0\Rightarrow \text{齐次线性方程}$
$f(x)\not\equiv 0\Rightarrow \text{非齐次线性方程}$
初值条件: $y^{(i)}{|}_{x=x_0}=y_0^{(i)};(i=0,1,\dots ,n-1)$

• 线性算子性质

  L(Cy)=CL(y),L(y1+y2)=L(y1)+L(y2)，即L（c1y1+c2y2）=c1L(y1)+c2L(y2)

  齐次线性方程不同解的线性组合仍是它的解

• 函数线性相关，线性无关

  Important

  • 朗斯基行列式

    性质：要不恒为0；要不恒不为0

  充要条件：不同解之间线性相关/无关↔朗斯基行列式(处处)等于/不等于0

通解结构

• 一些铺垫性质
  • n 阶齐次线性方程若有 $n$ 个线性无关的解,它们的任意线性组合即为通解(含$n$个待定系数)
  • 一定有：n 阶齐次方程必有 n 个线性无关的解(它们的集合称为基本解组——联想向量基)
  • ⇒所有解的组合构成n维线性空间

线性微分方程组

原理：

任意n阶常微分方程都可以转化为一阶n维（元）常系数方程组:
$\frac{{\mathrm{d}}^{n}x}{\mathrm{d}{t}^n}=f\left(t,x,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t},\dots ,\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}x}{\mathrm{d}{t}^{n-1}}\right)$,令$x=x_1,\frac{d{x}_1}{dt}=x_2,\dots ,\frac{d{x}_{n-1}}{dt}=x_n$，有：
$\{\begin{array}{l}\frac{d{x}_1}{dt}=x_2,\\ \frac{d{x}_2}{dt}=x_3,\\ \cdots \\ \frac{d{x}_{n-1}}{dt}=x_n,\\ \frac{d{x}_n}{dt}=f(t,x_1,\cdots ,x_n).\end{array}$
意义：说明了与线性微分方程的关联性
e.g.通解结构：齐次方程通解+非齐次方程特解↔$x=X(t)c+x^{\ast }(t)$
变动常数法：$y=u_1{y}_1(x)+u_2{y}_2(x)$↔$x=X(t)c(t)$
特征方程法：特征根法↔$\frac{dx}{dt}=Ax$, 通过求解特征方程$det(A-\lambda I)=0$获得基解矩阵

概念

基本解组：$x_1(t),...,x_n(t)$
基本解矩阵：$X(t)=(x_1(t),...,x_n(t))$
朗斯基行列式：$W(t)=\det \mathbf{X}(t)=\left|\begin{array}{ccc}{x}_{11}(t)& \cdots & x_{1n}(t)\\ ⋮& & ⋮\\ x_{n1}(t)& \cdots & x_{nm}(t)\end{array}\right|$

Important

• 朗斯基行列式

  性质：要不恒为0；要不恒不为0

充要条件：不同解之间线性相关/无关↔朗斯基行列式(处处)等于/不等于0

解法：

• 齐次：

  $\frac{dx}{dt}=Ax$，令$x=v{e}^{\lambda t}$，下求v,λ：

  带入，有：$v\lambda e^{\lambda t}=Av{e}^{\lambda t}$⇒$(A-\lambda E)v=0$

  要使v有非零解，则$|\mathbf{A}-\lambda E|=0$

  求得λ，v（高斯消元法或比例法），分类讨论：

  若所有特征根λ都是单根：

  $x_i={\mathbf{v}}_i{e}^{{\lambda }_{i}t}$ 【n*1矩阵/ n维向量】

  $x={\sum }_{i=1}^n{c}_i{\mathbf{v}}_i{e}^{{\lambda }_{i}t}$=$X(t)c$ （c 是一个n维的任意常向量）【n*n矩阵】

  有复数根

  由于复数特征值与特征向量均共轭，故只需求一个特征值所对应的特征向量，将该向量实部虚部拆成两项即可

  有重根【不考察】

  设矩阵A的特征方程有k重特征根${\lambda }_0$,则
  对应于${\lambda }_0$,方程组有下述形式的k个线性无关的解:
  $x(t)=(v_0+\frac{t}{1!}{v}_1+\frac{t^2}{2!}{v}_2+\cdots +\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}{v}_{k-1})e^{{\lambda }_{0}t}$

  $(A-{\lambda }_{0}E)v_0=v_1$
  $(A-{\lambda }_{0}E)v_1=v_2$……

  $(A-{\lambda }_{0}E{)}^k{v}_0=0$

  对于矩阵A和特征值入,广义特征向量v的阶数k是满足以下条件的最小整数:
  $(A-\lambda I{)}^k\mathbf{v}=0$且 $(A-\lambda I{)}^{k-1}\mathbf{v}\ne 0$.

  • 当$k=1$时, $\mathbf{v}$ 是普通特征向量(即 $(A-\lambda I)\mathbf{v}=0$)。
  • 当$k\ge 2时,\mathbf{v}$是广义特征向量。

• 非齐次：

  $\frac{dx}{dt}=A(t)x+f(t)$

  变动任意常数法：

  $x=X(t)c(t)$

  带回原式：

  $\frac{dx}{dt}=\frac{dX(t)}{dt}c(t)+X(t)\frac{dc(t)}{dt}$

  $=A(t)X(t)c+X(t)\frac{dc(t)}{dt}$

  最终有：$X(t)c^{\prime }(t)=f(t)$

  $c(t)={\int }_{t_0}^t{X}^{-1}(\tau )f(\tau )d\tau$

  $x(t)=X(t)c+X(t){\int }_{t_0}^t{X}^{-1}(\tau )f(\tau )d\tau$