大学物理

第一周：质点运动学

学习目的：引入微积分后对运动的描述是否会更加直观，带来什么新的特色？

• 概念

  位移矢量

  运动方程

  轨迹方程

  轨迹参数方程

  位移==$\Delta \vec{r}$==

  路程：轨迹长度==$\Delta r$==

  速度速率平均瞬时

对匀加速运动，才满足高中阶段的公式们

• 矢量，注意方向

  （矢量求导：按基底分解分别求导）

  一维问题不用加箭头，但仍是矢量！

• 注意r,v,a的微分关系

  化为单一变量求解微分方程

• 两种分解

  直角坐标系:x,y,z

  • 自然坐标系:（$l（路程）,\vec{t},\vec{n}$）[三个基本量是变量]

    et/ $\vec{t}$（切向_tangential）速度方向,$e_n$ / $\vec{n}$（法向normal_ ）与速度垂直指向圆心的方向

    $\vec{v}=v\vec{t}$

    微分关系：$d{\vec{e}}_t=d\theta {\vec{e}}_n$

    $\vec{a}=\frac{dv}{dt}{\vec{e}}_t+\frac{v^2}{\rho }{\vec{e}}_n$=${\vec{a}}_t+{\vec{a}}_n$

• 圆周运动（注意：w,$\beta$等概念只在圆周运动中有效）

  角速度w：一般当做标量处理，方向与大小分开讨论；特殊时看做矢量（一维情况在矢量看做有正负方向的标量）

  

• 相对运动

  绝对=相对+牵连 \vec{r} = \vec{r'} + \vec{R}$$\vec v=\vec v’+\vec u; $\vec{a}=\vec{a}’+{\vec{a}}_0$

  $\vec{r}=\overrightarrow{r^{\prime }}+\vec{R}$

  参照系，物体：物体对参照系

  

回顾：通过合适的分解方式，找到r,v,a三者的矢量关系，求解微分方程

第二周1：牛顿定律与非惯性系

学习目的：同样的动力学，相比高中引入了哪些新概念，新理解，新严格定义

• 概念

  • 惯性系:

    满足牛一的参考系（其实循环论证了）

    具体问题具体分析（.e.g.考虑地球自转，则地面非惯性系）

  • 惯性：

    物体保持运动状态不变的能力

  • 质量:

    惯性大小的量度（平动）

  • 动量

    $\vec{p}=m\vec{v}$

  • 力

    定义：$\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$

  • 牛二:

    与力的定义是一回事

    冲量形式,矢量式

  • 牛三:

    由牛二+试验结果(动量守恒推出)

    针对真实的力，惯性力不存在相互作用力

  • 力

    万有引力:负号；引力质量

    重力

    弹性力,胡克定律

    摩擦力,静摩擦系数略大于动

  • 量纲

    表示导出量怎样由基本量组合而成的式子

    L,M,T;其他导出量的量纲都可用L、M和T 的指数幂乘积表示出来

  力学相对性原理

  • 非惯性系

  • 惯性力：

    反应牵连加速度的结果，不存在反作用力

做题技巧

• 注意：

  画图中矢量不加箭头（防止相互作用力混淆）

  “轻物”：所受合外力为0

  一维问题矢量注意正方向

  变力用微分

  g取9.8

• 思路：

  1. 确定研究对象和参照系
  2. 隔离，受力分析
  3. 分析加速度牵连关系
  4. 在惯性系中列牛二定律（矢量式）
  5. 建立合适坐标系（自然，直角），列方程，使方程数与未知数数量相等
  6. 解方程：化为只有两个变量，解微分方程【要求很强的常微分能力】

三大牛顿定理都只能在惯性系中使用

【注意：一个二维矢量式其实是两个方程】

第二周2：动量

• 质点动量定理：「只适用于惯性系」

  冲量

  冲力，平均冲力

  矢量性：单一分量仍成立

  重力不要忽略

不要忽略重力

g=9.8

• 质点系动量定理

  质点系总动量的增量等于合外力的冲量

  解决问题时对多对象列质点动量定理的简化

  （一个数学问题：积分号与求和号交换位置的条件：符号里面的函数的累加和收敛「级数收敛」）

• 动量守恒定律

  爆炸问题，分离问题

  注意分量方向的

  [!important]

  • 质心运动定律

    质心【研究质点系的运动时，引入质心】

    • 质心运动定律

      $\vec{P}=m{\vec{v}}_c$

      $\vec{F}=m{\vec{a}}_c$

    • 质心参考系

      原点选在质心上的平动参考系

      一个质点系可分解为质心整体的运动和各质点相对质心的运动

      ${\vec{v}}_c^{\prime }$=0;${\vec{P}}^{\prime }=0$[零动量参考系]

• 密舍尔斯基方程

  变质量系统

  ⚠️注意质量是关于t的变量m(t)

  [!important] 不要忽略m与dm间冲力

  推导主体运动方程：为避免变质量问题，将m与dm作为整体列质点系动量定理，忽略小量，得

  ⇒$m\frac{d\vec{v}}{dt}$(主体加速度)=$\vec{F}$（合外力）+${\vec{v}}^{\prime }\frac{dm}{dt}$（流动物对主体的作用力）

  火箭运动：${\vec{v}}_t={\vec{v}}^{\prime }ln\frac{m_0}{m_t}$,多级:${\vec{v}}_t={\vec{v}}^{\prime }ln\frac{m_{10}}{m_1}\frac{m_{20}}{m_2}\frac{m_{30}}{m_3}$(本质是lnx增速越来越慢)

第三周1：功与能

• 概念

  • 功A

    $dA=\vec{F}d\vec{r}=F_t|d\vec{r}|=F_{t}dl$(Ft为F沿轨道切向方向分量)

    =Fxdx+Fydy+Fzdz

  • 质点动能定理

    合外力所做功等于质点动能增量

    Ft=$m{a}_t$=m$\frac{dv}{dt}$(v为速率，速度大小)

    $dA=F_{t}dl=m\frac{dv}{dt}dl=mvdv$

  • 质点系动能定理

    本质相互作用的物体位移不相等

    $A_{外}+A_{内}=E_k-E_{k0}$

  • 相互作用力做功

    $dA=F_{12}d{\vec{r}}_1+F_{21}d{\vec{r}}_2=F_{21}(d{\vec{r}}_2-d{\vec{r}}_1)=F_{21}d({\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1)$

    相对作用力与参考系选择无关

    可以选择一个对象为参考系，则力对另一对象所做的功就是相互作用力做功的总和

  • 保守力

    【在内力范围内讨论】

    我们讨论保守力的目的在于确定一种形式的势能，只有保守力才能定义势能；

    相互作用力做功之和与路径无关，只决定与始末相对位置的力

    可以发现：若对与矢量积分→非保守力；对于标量积分→保守力

  • 势能（与保守力的关系）

    内力是保守力，才引入

    势能增量：保守力做功之和的负值

    势能差：保守力做功之和

    势能：从该位置沿任意路径变到势能零点的过程中，保守内力所做的功

    保守内力等于势能梯度的负值

  • 功能原理

    $A_{外}+A_{内非}=(E_k+E_p)-(E_{k0}+E_{p0})$

    将保守力移到另一边变为势能

  • 机械能守恒定律

    若 $A_{外}+A_{内非}=0$则$E_k+E_p=E_{k0}+E_{p0}=$常量

第三周2：碰撞与角动量

碰撞

恢复系数：$e=\frac{v_2-v_1}{v_{10}-v_{20}}$
动能变化：$-\Delta E_k=\frac{1}{2}(1-e^2)\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}(v_{10}-v_{20}{)}^2$

角动量

• 概念

  • 角动量：

    $\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}=\vec{r}\times m\vec{v}$

  • 力矩

    $M=r\times F$

  • 质点角动量定理

    $M=\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}$

    ${\int }_{t_0}^{t}Mdt=L-L_0$

  • 质点角动量守恒定理

    若M = 0,则L =常矢量

  • 质点系角动量定理

    $M=\frac{dL}{dt}$

    式中L是质点系对某一固定点的总角动量,

    M为所有外力对该固定点力矩的矢量和,也称合外力矩。（内力力矩矢量和为0）

• 适用场景

  滑轮，圆周运动，天体运动

解题

• 注意

  滑块沿斜面滑倒地上有动量损失

第四周：刚体力学

• 定义

  刚体是指在外力作用下，其内部各个部分之间的相对位置不发生变化的物体，即刚体在变形条件下保持其形状和体积不变。换句话说，刚体在运动过程中，可以视为一个统一的整体，其各部分之间的距离始终保持不变。

• 运动分类

  平动

  定轴转动

  定点转动（e.g.陀螺）

  • 平面运动：质心平动+绕质心轴转动

    在运动过程中，刚体上任一点与某一固定平面的距离保持不变

    重要特点是它可以简化为平面图形在自身平面内的运动，不需要考虑刚体厚度

  一般运动：平动+转动

• 定轴转动

  任意质点的$\theta ,w,\beta$代表整体的$\theta ,w,\beta$（对定点也成立）

  概念：转动平面

• 动力学:定轴转动定律

  • 对轴的力矩

    M=Fd

    F:转动平面上分力的切向分量

    d：力臂

  • 定轴转动定律

    $M=J\beta$

    由牛二${\vec{F}}_{内}+{\vec{F}}_{外}=m{\vec{a}}_i$,同乘$r_i$再求和得出

• 转动惯量

  衡量转动的惯性

  $J=\sum m_i{r}_i^2=\int r^{2}dm$（dm是所有距转轴r的质量元的总质量）

  平行轴定理 $I=I_c+M{d}^2$

  垂直轴定理【只对薄板成立】
  对于一个薄且平面的刚体（或截面），设其位于 xy 平面内，绕 x -轴和 y 轴的转动惯量分别为 I_x 和 I_y ，绕垂直于平面且经过同一点（通常是质心）的 z -轴的转动惯量为 I_z ，则垂直轴定理说明： $I_z=I_x+I_y$

  • 典型特殊转动惯量

    

    dV=径向长度×极角长度×方位角长度=_dr_×(rdθ)×(r_sin_θdϕ)

• 回转半径

  $R_G=\sqrt{\frac{J}{m}}$

  回转半径越大，质量分布离旋转轴越远，物体越难旋转。

解题

【解题步骤】：
(1)确定研究对象，进行受力分析，画出隔离体受力图;
(2)建立坐标系，假设a、β的正方向，并尽可能使两者在运动方向保持一致;
(3)对刚体的平动用牛顿第二定律，对刚体的转动用转动定律，列联立方程；
(4)由物体之间的连接关系及角量与线量的对应关系，列出补充方程；【纯滚动条件，沿绳条件】
(5)求解方程，并分析结果的合理性与物理意义。

[!important] 如果滑轮不光滑，做变速运动，则滑轮两端绳子上力不再相等

合外力矩是合/外力矩，而不是合外力/矩；但对于重力，可以等效为质心上重力的力矩【重力相对质心的力矩为0】all：当力的方向一致时，合外力矩等于合外力的力矩

对过质心的轴，不用计算惯性力的力矩，转动定律总是成立【惯性力相对质心的力矩为0**】**

第五周1：定轴转动的动能，角动量定理

动能定理

• 转动动能

  $E_k=1/2J{w}^2$

• 力矩的功

  $dA=F_{t}dr=F_{t}rd\theta =Md\theta$

  $A=M(\theta -{\theta }_0)$

  $P=Mw$

• 刚体定轴转动动能定理

  由于是刚体，所以$A_{内非}$=0

  A_外=$$\int ^\theta _{\theta_0}Md\theta=$\Delta (1/2J{w}^2)$

• 含转动刚体的质点系

  A_外+A_{内非}=$$(E_k+E_p)-(E_{k_0}-E_{p_0})

Important

• 柯尼希定理

  $E_k=无限制=\sum \frac{1}{2}{m}_i{v}_i^2=绕定轴转动=\frac{1}{2}J{w}^2=绕定轴且质心轴与固定轴平行=\frac{1}{2}{J}_c{w}^2+\frac{1}{2}{m}_c{v}_c^2$

角动量定理

• 质点对轴的角动量

  $L=mr{v}_t$

• 刚体对轴的角动量

  $L=\sum m_i{r}_i{v}_i=\sum m_i{r}_i^{2}w=Jw$

• 刚体定轴转动角动量定理

  $M=\frac{dL}{dt}=\frac{d(Jw)}{dt}$【适用于非刚体】

  =^{若为定轴转动的刚体，J为定值}=$$J\beta【只适用刚体】

• 冲量矩

  对转轴的外力矩之和M在to到t时间内的累积作用，称为外力矩之和对转轴的冲量矩

  ${\int }_{t_0}^{t}Mdt=J\omega -J_0{\omega }_0$

• 角动量守恒定律

  当M=0，即合外力力矩为0，则角动量$Jw$守恒

解题

绳子张力为非保守内力，但做总功为0【两侧做功抵消】

定轴上有冲量（由于冲量不确定，不能用动量定理【刚体参与的碰撞，一般动量不守恒】）

定轴上没有角冲量（用角动量定理)
求轴上作用力：质心动量定理【注意切向法向加速度都存在】
注意滑轮状态：轻滑轮 ⇒ 滑轮角动量为0
绳与滑轮之间无相对滑动 ⇒ 速度关系v=wr

第五周2：平面运动

定义：垂直线上运动状态一致，只用研究二维平面

• 分解：质心平动 +绕质心转动

  (将平面运动这种更普遍的运动形式分解为更为特殊的运动形式)

绕顺时轴转动

• 运动学

  ${\vec{v}}_i={\vec{v}}_c+{\vec{v}}_{ic}$=${\vec{v}}_c+\vec{w}\times {\vec{r}}_i$

• 动力学

  $\vec{F}=m{\vec{a}}_c$

  $M_c=J_c\beta$

$M_p=J_p\beta$

能量

• 纯滚动

  接触点：

  无滑动

  v=0

  f为静摩擦力，不做功

解题

• 对纯滚动的分析：（关键，静摩擦力f的方向不确定）

  不包括f的合外力 +（$a_c$方向⇒β方向）⇒判断f方向：是否唯一？

• 对于动滑轮，注意伽利略变换

第六周1：定点运动，流体运动

定点运动

• 陀螺仪

  条件：有轴对称性，且转动惯量很大的刚体，研究其定点转动

• 特殊的陀螺仪

  定向指示仪：质心为定点⇒M=0⇒L守恒⇒飞轮的对称轴方向不变

  杠杆回旋仪：轴水平

$M=\frac{dL}{dt}$⇒$\vec{M}dt=d\vec{L}=Ld\theta$⇒$\frac{d\theta }{dt}=\frac{M}{L}$
L的方向为轴的方向（对w右手螺旋），$\vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}$,一般在垂直纸面方向
由于M方向与L垂直，故dL与L垂直⇒M只改变L的大小，不改变L的方向；
陀螺仪进动的方向为M的方向
旋进角速度：（对杠杆回旋仪）\Omega =\frac{dθ}{dt}=$$\frac {M}{L}=$\frac{mg{r}_c}{Jw}$

一般的：

==$L_{\perp }$==为L在水平面上的投影，因为θ是在水平面内的，只有$L_{\perp }$才满足$d\vec{L}=\vec{L}d\theta$

(可知：要满足$\Omega <<w$,要求J很大，w很大（高速旋转）)

流体力学

• 条件

  不可压缩，无摩擦，定常流动（v与t无关）

• 连续性方程

  $Sv=常量$，

  $\rho Sv=常量$

• 伯努利方程

  $pV+1/2m{v}^2+mgh=常量$($pV$为压力能)

  $p+1/2\rho v^2+\rho gh=常量$

第六周2：相对论变换与时空观

• 变换

  • 基本原理

    光速不变

    相对性原理（没有优越的惯性系）

    时间空间均匀性

  • 洛伦兹变换

    令$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$

    $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=\frac{x-ut}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}=\gamma (x-ut)\\ y^{\prime }=y\\ z^{\prime }=z\\ t^{\prime }=\frac{t-\frac{ux}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}=\gamma (t-\frac{ux}{c^2})\end{array}$

  • 路程时间间隔关系

    $\{\begin{array}{l}\Delta x^{\prime }=\frac{\Delta x-u\Delta t}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\\ \Delta t^{\prime }=\frac{\Delta t-u\Delta x/c^2}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\end{array}$

    $\{\begin{array}{l}\Delta x=\frac{\Delta x^{\prime }+u\Delta t^{\prime }}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\\ \Delta t=\frac{\Delta t^{\prime }+u\Delta x^{\prime }/c^2}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\end{array}$

  • 爱因斯坦速度变换

    $\{\begin{array}{l}{v}_x^{\prime }=\frac{v_x-u}{1-\frac{v_{x}u}{c^2}}\\ v_y^{\prime }=\frac{v_y\sqrt{1-(\frac{u}{c}{)}^2}}{1-\frac{v_{x}u}{c^2}}\\ v_z^{\prime }=\frac{v_z\sqrt{1-(\frac{u}{c}{)}^2}}{1-\frac{v_{x}u}{c^2}}\end{array}$

• 时空观

  • 长度收缩

    【固有长度】静长一定是物体相对参考系静止时两端的空间间隔

    ==$\Delta t^{\prime }=0$ $t_1^{\prime }=t_2^{\prime }$ (====$k^{\prime }$==系中的时间)

    $l_0=\Delta x^{\prime }=x_2^{\prime }-x_1^{\prime }$ 但是$L\ne \Delta x=x_2-x_1$

    有$\Delta x=l_0=\frac{\Delta x^{\prime }}{\sqrt{1-(u/c{)}^2}}$

    结论: $l^{\prime }=l_0\sqrt{1-(u/c{)}^2}$

  • 时间膨胀

    【固有时间】原时一定是在某参考系中同一地点发生的两个事件的时间间隔（若对应某物，则其静止 e.g $u$介子）

    ==$\Delta x=0$ $x_1=x_2$ （K系中的位移）==

    $\Delta t^{\prime }$就是$t_2^{\prime }-t_1^{\prime }$

    有$\Delta t^{\prime }=\frac{\Delta t}{\sqrt{1-(u/c{)}^2}}$

    结论：$\Delta t^{\prime }=\frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-(u/c{)}^2}}$

  • “时空间隔”的绝对性

    $S=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2-c^2(t_2-t_1{)}^2}$为定值

第七周1：相对论动力学

引子：根据相对性原理，应保证力学定律在洛伦兹变化下保持不变
故：重新定义质量，动量，能量，使之满足守恒定理【在相对论中，质量守恒和能量守恒本质上是同一件事的两个表现形式】

• 质量

  通过两个参考系中的非弹性碰撞，可推得：

  $m=\frac{m_0}{\sqrt{1-(v/c{)}^2}}$

• 动量

  $p=mv=\frac{m_0}{\sqrt{1-(v/c{)}^2}}v$

• 动力学方程

  $\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}=\frac{d(\frac{m_0}{\sqrt{1-(v/c{)}^2}}v)}{dt}$

• 动能

  不可用经典力学公式计算，因为m并非定值

  $d{E}_k=Fdr=\frac{dp}{dt}dr=dp\cdot v=dp\cdot \frac{p}{m}=\frac{1}{2m}d(p^2)$

  由动量公式⇒$m^2{c}^2-p^2=m_0^2{c}^2$⇒$d(p^2)=d(m^2{c}^2)=c^{2}2mdm$

  E_k=\int dE_k=\int \frac{1}{2m}d(p^2)=$$\int c^2dm=c^2(m-m_0)

质能关系：$E=m{c}^2=E_k+m_0{c}^2$

• 能动关系

  $E^2=(pc{)}^2+(m_0{c}^2{)}^2$【直角三角形】

  $(mc{)}^2=(m_{0}c{)}^2+(mv{)}^2$

第七周2：简谐运动

标准方程

$x=Acos(wt+\varphi )$

w由系统物理特性决定（e.g. k, m ……）
$A,\varphi$由$x0,v0$决定

求$A,\varphi$:

$A=\sqrt{x^2+(v/w{)}^2}=\sqrt{x{0}^2+(v0/w{)}^2}$【本质与机械能守恒$1/2k{A}^2=1/2k{x}^2+1/2m{v}^2$是等效的式子】

$tan\varphi =-\frac{v0}{wx0}$;$cos\varphi =\frac{x_0}{A}$

由x0确定$\varphi$的大小，由v0确定$\varphi$的方向
旋转矢量法：v方向为x逆时针$\pi /2$，a方向为v逆时针$\pi /2$

运动学特征

$a=-w^{2}x$/ $\beta =-w^2\theta$

动力学条件

$F=-m{w}^{2}x=-kx$/ $M=J\beta =-J{w}^2\theta =-mgl\theta =-k\theta$

实例：

弹簧：

$F=-kx=-m{w}^{2}x$

$w=\sqrt{\frac{k}{m}}$
单摆：

$M=-mgl\theta =J\beta =m{l}^2\beta =-m{l}^2{w}^2\theta$

($k=mgl$)

$w=\sqrt{\frac{g}{l}}$
复摆：

$M=-mgl\theta =J\beta =-J{w}^2\theta$

($k=mgl$)

$w=\sqrt{\frac{mgl}{J}}$
扭摆：

$M=-k\theta =J\beta =-J{w}^2\theta$

$w=\sqrt{\frac{k}{J}}$

能量

$Ep=1/2k{x}^2=1/2k{A}^{2}co{s}^2(wt+\varphi )$

$Ek=1/2m{v}^2=1/2m{w}^2{A}^{2}si{n}^2(wt+\varphi )$

$E=Ep+Ek=1/2m{v}_m^2=1/2k{A}^2$

plus: $a{x}^2+b{v}^2=c$↔做简谐运动→系统机械能守恒

第八周1：各类振动，振动的合成与分解

平衡位置附近振动

形象概括了单摆，复摆等的运动。注意弹簧不是因为这个原因，弹簧原理平衡点处也做简谐运动
【保守力场中力与势能的关系：$F(x)=-\frac{d{E}_p(x)}{dx}$】
当且仅当平衡点是稳定极小值点，且势能在平衡点附近二次项主导时，运动近似为简谐运动.
$F=F(0)+F^{\prime }(0)x+o(x)=F^{\prime }(0)x$，其中$F^{\prime }(0)=\frac{dF}{dx}{|}_{x=0}<=0$
所以平衡位置附近力为回复力

振动合成

同向同频[定性+定量] ^85e7a7

$x1=A1cos(wt+\varphi 1)$
$x2=A2cos(wt+\varphi 2)$
$A^{\prime }=\sqrt{A{1}^2+A{2}^2+2A1A2cos(\varphi 2-\varphi 1)}$
$\varphi =\arctan \frac{A1\sin \varphi 1+A2\sin \varphi 2}{A1\cos \varphi 1+A2\cos \varphi 2}$
通过旋转矢量法法解决

同向 不同频【定性+会算${\nu }_{拍}$】

$x1=A1cos(w1t+\varphi 1)$
$x2=A2cos(w2t+\varphi 2)$
此时A’是随时间的变量，合振幅随时间变化
定性观察：取$A1=A2=A$
则$x=2Acos(\frac{w1-w2}{2}t+\frac{\varphi 2-\varphi 1}{2})cos(\frac{w1+w2}{2}t+\frac{\varphi 2+\varphi 1}{2})$
若w1-w2<<w1+w2,则前一项cos“缓慢变化”$x=A^{\prime }cos(\frac{w1+w2}{2}t+\frac{\varphi 2+\varphi 1}{2})$
$A^{\prime }=cos(\frac{w1-w2}{2}t+\frac{\varphi 2-\varphi 1}{2})$ 振幅做周期性变化的简谐振动
拍：合振动强弱交替变化的现象
拍频：单位时间内振动忽强的次数
$\nu 拍=cos的频率的两倍（振幅不分正负，一个余弦周期内振幅变化两次）=\frac{1}{2\pi }\frac{w1-w2}{2}\ast 2=\frac{1}{2\pi }(w2-w1)=\nu 2-\nu 1$
⚠️：${\nu }_{拍}={\nu }_2-{\nu }_1$

垂直 同频【同相反相：定性定量；一般情况：判断椭圆顺逆时针】

$x1=A1cos(wt+\varphi 1)$

$x2=A2cos(wt+\varphi 2)$

可得椭圆方程$\frac{x^2}{A{1}^2}+\frac{y^2}{A{2}^2}-\frac{2xy}{A1A2}\cos (\phi 2-\phi 1)={\sin }^2(\phi 2-\phi 1)$
讨论：

同相位：得$y=\frac{A2}{A1}x$,$r=\sqrt{A{1}^2+A{2}^2}cos(wt+\varphi )$

反相位：$y=-\frac{A2}{A1}x$，$r=\sqrt{A{1}^2+A{2}^2}cos(wt+\varphi )$

${\phi }_2-{\phi }_1=\pm \frac{\pi }{2}$时，$\frac{x^2}{A{1}^2}+\frac{y^2}{A{2}^2}=1$ 圆

一般情况：斜椭圆。通过取点法：$wt+\varphi =0/\frac{\pi }{2}$或旋转矢量法（x,y两个方向的矢量圆）

垂直 不同频【定性+频率整数时根据图形推出频率比】

$\Delta \phi =(\omega 2-\omega 1)t+(\phi 2-\phi 1)$

当频率差很小时，与同向不同频相似，可看作垂直同频按椭圆运动从0到2π依次变化

一般轨迹不稳定无规律

两个频率成简单的整数比时：合成运动轨迹稳定，作周期性运动，合运动的轨迹图形是李萨如图形

满足

$\frac{ny}{nx}=\frac{Ty}{Tx}=\frac{\nu x}{\nu y}=\frac{{\omega }_x}{{\omega }_y}$，nx为曲线与一水平线的最多交点数，ny为曲线与一垂直线的最多交点数

第八周2：波

机械波-1.pdf

条件：

波源，弹性介质

概念

• 波线：波传播方向所引的直线
• 波面：T时刻振动状态相同（同相位）的质点所构成的曲面，与波线垂直
• 波前：最前方的波面
• 波长：波传播一个周期所走的距离/由相同运动状态的两点的距离 【由介质和波的频率决定】
• 周期：完整振动通过一点（传播一个波长）所需时间【完成一次振动所需时间】
• 频率：单位时间内传播出的波长数【单位时间内完成振动数】 【决定于波源】
• 波速：单位时间内振动传递的距离=$\lambda \nu$【波速取决于介质的弹性和密度】^431b6b
• 平面简谐波
  • $x=Acos[w(t-\frac{x}{u})+\varphi ]=Acos[\frac{2\pi }{T}(t-\frac{x}{u})+\varphi ]$= $Acos(wt-\frac{2\pi }{\lambda }x+\varphi )$

理解：

1. 【时间引起相位的变化】后传播到的点相位落后
   1. 波在时间上的传播是相位的传播
2. 【位移引起相位的变化】(t+△t)时刻(x+△x)处质点的位移=t时刻x处质点的位移
   1. 波在空间上的传播是波形的传播

物理量间的关系：

两点，同一时间($\Delta t=0$）：$\frac{∆x}{\lambda }=\frac{\Delta \phi }{2\pi }$
两点，（$\Delta \varphi =0$, 即波从一点传到另一点的过程）$\frac{∆x}{\lambda }=\frac{∆t}{T}$
波线上同一个质点的两个时刻的时间间隔和相位差的关系: $\frac{∆t}{T}=\frac{\Delta \phi }{2\pi }$

波动微分方程

机械波-2.pdf
问题引入：$y=f(x,t)$，该方程形式到底如何呢？

运动学规律：

$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}=\frac{1}{u^2}\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}$

下面：我们致力于求解u：

动力学规律：

对细棒（代表纵波）：

对绳子（代表横波）：

‪‪绳波‬演示软件 1.1.37‬

• 近似：
  • 在大部分波动分析中，为简化问题，通常假定绳子的张力保持恒定，不考虑波动导致的微小伸长和张力变化：$|F_1|=|F_2|=F$
  • 一般认为是小振幅（微小扰动）：$\theta \to 0,sin\theta =tan\theta =\frac{\partial y}{\partial x}$
    

可知：波速确实由介质特性（惯性，弹性）决定，$u=\sqrt{\frac{弹性}{惯性}}$【直观理解：弹性越好，波速越快；越重，波速越慢】

能量，能流密度

机械波-2, p.9

波的能量

对细棒（代表纵波）：

$\Delta E_p=\Delta E_K=\frac{1}{2}\rho \Delta V{\omega }^2{A}^2{\sin }^2\omega (t-\frac{x}{u})$
$\Delta E=\Delta E_p+\Delta E_K=\rho \Delta V{\omega }^2{A}^2{\sin }^2\omega (t-\frac{x}{u})$
能量密度（单位体积内机械能）：$w=\frac{\Delta E}{\Delta V}=e_p+e_K=\rho {\omega }^2{A}^2{\sin }^2\omega (t-\frac{x}{u})=w(t,x)$
平均体能量密度：$\bar{w}=\frac{1}{2}\rho {\omega }^2{A}^2$
故：细棒中任意一点在任何时刻势能动能大小相同，能量沿波的传播方向向前传播

对绳子（代表横波）：

$\Delta E_p=\Delta E_K$
$\Delta E=\mu A^2{\omega }^{2}si{n}^2\omega (t-\frac{x}{u})\Delta x$
平均线能量密度$\bar{w}=\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^2$

能流密度

对绳子：

我们用功率表现能量沿绳传播的速率，则：$\bar{P}=\frac{\Delta \bar{E}}{\Delta t}=\bar{w}u=\frac{1}{2}u\mu A^2{\omega }^2$

对细棒：

• 引入能流密度的概念：单位时间内通过垂直于波的传播方向单位面积的平均能量，反映能量通过细棒的传播强度
• （强度 = 每秒通过单位面积的能量 ）
• $I=\frac{Sl\bar{w}}{St}=\bar{w}u=\frac{1}{2}\rho {\omega }^2{A}^{2}u$

【共同点：都等于：$\bar{w}u$】

plus:对球面波：

• $I=\frac{P_0}{4\pi r^2}\propto A^2\frac{I_1}{I_2}=\frac{r_2^2}{r_1^2}=\frac{A_1^2}{A_2^2}(\frac{A_1}{A_2}=\frac{r_2}{r_1})$

另：
（简谐波：$I=k{A}^2$ 光：I=kA)

波的干涉

概念

合成波的强度在一些地方始终增强/减弱

预设知识

• 波传播的独立性
• 播的线性叠加性（本质是二阶线性微分方程具有线性叠加性）
  • 要求：满足胡克定律，振幅不是过大

波干涉的条件

振动方向相同（注意与传播方向的区分）
频率相同
相位差恒定

本质：

合成波的强度在一些地方始终增强/减弱

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定量分析

• $y_1=A_1\cos \left[\omega t-\frac{2\pi r_1}{\lambda }+{\phi }_1\right]$
• $y_2=A_2\cos \left[\omega t-\frac{2\pi r_2}{\lambda }+{\phi }_2\right]$
• 线性叠加（点振动合成）
  • $y=y_1+y_2=A\cos (\omega t+\phi )$
  • 振幅$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos \Delta \phi }$
  • 相位差$\Delta \phi ={\phi }_2-{\phi }_1-\frac{2\pi \left(r_2-r_1\right)}{\lambda }$ (与$t$ 无关，恒定)^pbzbzy
  • 任意点振幅恒定，相位差固定

驻波

机械波-3.pdf

定义

干涉的特例

振动方向相同（注意与传播方向的区分）
频率相同
相位差恒定

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+振幅相等+沿相反方向传播
振幅相等：保证y1y2的A是一样的
沿相反方向传播：1.共线：y1y2中x意义相同2.相反方向传播：正负号不同
基于上面两个条件，能遇到比较好的和差化积的形式：
驻波表达式：两个正弦或余弦相乘，一个只与x有关，一个只与y有关

性质

1. 干涉的统一性质：
   

   • 任意点振幅恒定，相位差固定

   Link to original

2. 没有相位的传播,两个相邻波节之间各质点的振动相位相同,波节两侧质点的振动相位相反.
   【所有点$cos(wt+\varphi )$一致，只有A不同；$cos(\frac{2\pi }{\lambda }x$)可正可负】
3. 相邻波节或波腹间距为$\Delta x=\frac{\lambda }{2}$

求反射波

驻波可视化动图_哔哩哔哩_bilibili

两端点固定

【光疏到光密，折射率小到折射率大】

1. 入射波在固定端反射：
   1. 入射：$y_1=Acosw(t+x/u)$
   2. 有：$y_{10}=Acosw(t)$,因为固定点处：$y_0=y_{10}+y_{20}=0$,所以$y_{20}=-y_{10}=Acos(wt+\pi )$这就是半波损失的原因
   3. 则反射：$y_2=Acos[w(t-x/u)+\pi ]$【传播方向反向+半波损失】
   4. 入射波与反射波符合：振幅相等，沿相反方向传播，形成驻波
2. 两端点固定的驻波：
   1. 合成波：$y=y_1+y_2=2A\sin \frac{2\pi }{\lambda }x\sin (\omega t+\pi )$
   2. 现在要求两端点都固定（y=0)
   3. 设总长L,则y(x=L, t) = 0 ⇒ $sin\frac{2\pi }{\lambda }L=0$，$\frac{2\pi }{\lambda }L=n\pi (n=1,2,3,\dots ){\lambda }_n=\frac{2L}{n},{\nu }_n=\frac{u}{{\lambda }_n}=n\frac{u}{2L}$ 【不用记忆】

      • 相邻波节或波腹间距为$\Delta x=\frac{\lambda }{2}$

      Link to original

   4. 

一端固定，一端自由

【光密到光疏，折射率大到折射率小】
自由端定义：如：光滑无质量圆环，无能量损失，但无法向右传播,能量完全返回

1. 入射波在自由端反射：
   1. $y_1=A\cos \omega (t-\frac{x}{u})$
   2. $y_{2L}=y_{1L}=A\cos \omega \left(t-\frac{L}{u}\right)$
   3. 则$y_2=A\cos \omega (t+\frac{x-L}{u}-\frac{L}{u})=A\cos \omega (t+\frac{x}{u}-\frac{2L}{u})$
2. 一端固定，一端自由：
   1. 合成波：y=y_1+y_2=$$2 A \cos \frac{2\pi}{\lambda} (L-x) \cos (\omega t - \frac{2\pi}{\lambda} L)
   2. 固定端：$y(x=0,t)=0\Rightarrow \cos \frac{2\pi }{\lambda }L=0$
   3. $L=n\frac{{\lambda }_n}{4}(n=1,3,5,...)$
   4. 

多普勒效应

以介质为参照系
u是波传播的速度；$v_s,{\nu }_s$是波源(sourse)的运动速度与频率；$v_R,{\nu }_R$是观察者(receiver)的运动速率与接收到的频率

波源不动，观察者相对介质运动

改变观察者接收到的频率频率:
观察者接收到的频率 ${\nu }_R$ 是指单位时间内人耳或仪器接收到的完整波的数目(即:接收到的波长数)
${\nu }_s=u/\lambda$
${\nu }_R=波长数/t=\frac{(u+v_R)t}{\lambda t}=\frac{u+v_R}{\lambda }=\frac{u+v_R}{u}{\nu }_s$ $\to {\nu }_R\propto u+v_R$

观察者不动，波源相对介质运动

改变介质中的波长：
介质中的波长是传播速度方向上相位相等的最近点之间的距离，由于波源的移动，波源处点与另一相位相等的点之间距离发生变化，这个距离就是波长
${\lambda }^{\prime }=\lambda -V_{s}t$ $=(u-V_s)t$
介质中波长变化引起观察者接收到的频率发生变化
$\nu \propto \frac{1}{\lambda }\to {\nu }_R=\frac{u}{u-V_S}{\nu }_s$

波源与观测者相对介质都有相对运动时

${\lambda }^{\prime }=(u-V_S)T_S$
${\nu }_R=\frac{u+V_R}{{\lambda }^{\prime }}=\frac{u+V_R}{u-V_S}{\nu }_S$

另：对光波

由相对论:${\nu }^{\prime }=\sqrt{\frac{c+u}{c-u}}\nu$

热力学

一些常用变量

气体分子动理论

核心思想：围观量→统计平均→宏观量
需要找到链接宏观量与微观量的桥梁

基本概念与基本假设

气体分子动理论-1, p.7
基本概念：孤立系统，封闭系统，开放系统
基本假设：
【运动假设】大量，无规则；
【统计假设】均匀，随机
【微观模型假设】弹性质点，完全弹性碰撞，相互作用力忽略

压强(理想气体的压强公式)

联系：宏观p 与 微观${\epsilon }_t,{\overline{v}}^2,n,\mu$

$p=\frac{1}{3}\mu n{\bar{v}}^2$

• 证明 ：

• 对单个分子：$dF=\frac{2\mu v_{ix}}{dt}$

• 对dt内$v_i$,单位时间内对dS的力：$dF=2m_{总}{v}_{ix}=2\mu n_i{v}_{ix}dS{v}_{ix}$（n_i为单位体积内速度为${\vec{v}}_i$的粒子的单位体积分子数）

• 考虑到只有一半的粒子可以打到一侧墙壁，$F={\sum }_i\mu n_i{v}_{ix}^{2}dS$

• 压强 $p=\frac{dF}{dS}=\mu {\sum }_i{n}_i{v}_{i{x}^2}=\mu n{v}_x^2=\frac{1}{3}\mu v^2$

推导：

分子平均平动动能 $\overline{{\epsilon }_t}=\frac{1}{n}{\sum }_i{n}_i\left(\frac{1}{2}{v}_i^2\right)=\frac{1}{2}\mu \overline{v^2}$
理想气体压强公式：$p=\frac{1}{3}n\mu \overline{v^2}=\frac{2}{3}n\overline{{\epsilon }_t}$

理想气体状态方程

联系宏观T,微观${\epsilon }_t(即方均根速率)$

$pV=\nu RT$, $p=nkT$ ($\nu$ 是气体物质的量，n是单位体积分子数(分子数密度)，$\frac{\nu }{V}=\frac{n}{N_A}$, $k=\frac{R}{N_A}$)

推论：

温度与分子平均平动动能: $\overline{{\epsilon }_{\mathrm{t}}}=\frac{3}{2}kT$
推导：$p=\frac{2}{3}n\overline{{\epsilon }_t}=nkT$
方均根速率：$\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$

能量均分原理

气体分子动理论-1, p.16

自由度

质点：三个自由度
质点系的转动：两个自由度
质点系的振动：一个自由度

能量均分原理

相应于每一自由度具有相同的平均能量$\frac{1}{2}$kT
理想气体的内能： 气体的平动动能 ＋气体的转动动能 ＋气体的振动动能(常温下忽略)

麦克斯韦速率分布律

气体分子动理论-2, p.2

定义

气体在平衡态下，分布在单位速率区间(dv)之内的分子数(dN)，占气体分子总数(N)的百分率

f(v)=\frac{1}{N}$$\frac{dN}{dv}                                             

面积：${\int }_{{\nu }_1}^{{\nu }_2}f(\nu )d\nu ={\int }_{{\nu }_1}^{{\nu }_2}\frac{dN}{Nd\nu }d\nu =\frac{1}{N}{\int }_{{\nu }_1}^{{\nu }_2}dN$
【最终会归一化】:${\int }_0^{\infty }f(\nu )d\nu =\frac{1}{N}\int dN=\frac{1}{N}N=1$

作用

与速率分布有关物理量的统计平均值 $\bar{\xi }={\int }_0^{\infty }\xi f(v)\cdot dv$, $\bar{\xi }=\frac{{\int }_{v_1}^{v_2}\xi f(v)\cdot dv}{{\int }_{v_1}^{v_2}f(v)\cdot dv}$

麦克斯韦速率分布函数

$f(\nu )=4\pi (\frac{\mu }{2\pi kT}{)}^{3/2}{e}^{-\frac{\mu {\nu }^2}{2kT}}{\nu }^2$                           

推导:
麦克斯韦写出：$f(\nu )=4e^{-\frac{\mu {\nu }^2}{2kT}}{\nu }^2$
由归一化条件：${\int }_0^{+\infty }f(v)dv=1$可解出A

三种特征速率

最概然速率

${\nu }_p=\sqrt{\frac{2kT}{\mu }}=\sqrt{\frac{2RT}{M}}$
推导：
$\frac{df(\nu )}{d\nu }{|}_{{\nu }_p}=0$

平均速率

$\overline{\nu }=\sqrt{\frac{8kT}{\pi \mu }}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
推导：
$\overline{\nu }=\frac{\sum N_i{\nu }_i}{\sum N_i}\Rightarrow \frac{{\int }_0^{\infty }\nu dN}{{\int }_0^{\infty }dN}=\frac{{\int }_0^{\infty }\nu f(\nu )d\nu }{{\int }_0^{\infty }f(\nu )d\nu }={\int }_0^{\infty }\nu f(\nu )d\nu$

**原因说明：**
1. 保留了原公式结构，明确平均速率的定义和积分形式。
2. 增加了部分空格（如 $\nu\, dN$），使公式更规范易读。
3. 结尾只保留 $\int_{0}^{\infty} \nu f(\nu)\, d\nu$，因为 $f(\nu)$ 已归一化，分母为 1，简化表达。

方均根速率

$\sqrt{\overline{{\nu }^2}}=\sqrt{\frac{3kT}{\mu }}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$
推导：
$\overline{{\nu }^2}={\int }_0^{\infty }{\nu }^{2}f(\nu )d\nu ={\int }_0^{\infty }{\nu }^2\cdot 4\pi {\left(\frac{\mu }{2\pi kT}\right)}^{3/2}{e}^{-\frac{\mu {\nu }^2}{2kT}}d\nu$

玻尔兹曼分布率

对麦克斯韦分布率的推广：由于受外力场作用，分子按空间位置的分布并不均匀，需要引入体积元（空间变量）dxdydz
$d{N}_{\overrightarrow{v},\overrightarrow{r}}=n_0{\left(\frac{\mu }{2\pi kT}\right)}^{\frac{3}{2}}{e}^{-({\epsilon }_K+{\epsilon }_P)/kT}dxdydzd{v}_{x}d{v}_{y}d{v}_z$
$n_0$为在${\epsilon }_p$ = 0处的分子数密度(即:单位体积 内具有各种速度的分子总数)
有结论：
单位体积分子数：$n=n_0{e}^{-{\epsilon }_P/kT}$

对于重力场：${ϵ}_p=\mu gh\to n=n_0{e}^{-\frac{{\epsilon }_P}{kT}}=n_0{e}^{-\frac{\mu gh}{kT}}=n_0{e}^{-\frac{Mgh}{RT}}$

等温气压公式:由p=nkT,得:

$P=P_0{e}^{-\frac{\mu gh}{kT}}=P_0{e}^{-\frac{Mgh}{RT}}$
推论:$z=\frac{RT}{Mg}\ln \frac{P_0}{P}$

平均碰撞频率与平均自由程

进一步考虑分子间的碰撞
分子线度：有效直径

平均碰撞频率$\bar{Z}$：

单位时间内一个分子与其它分子碰撞的平均次数

$\bar{z}=\sqrt{2}\pi d^{2}n\bar{v}$

证明:气体分子动理论-2, p.19
取一个分子运动方向上的柱体,单位时间内体积:$\pi d^2\overline{v_r}$,将两体运动转化为单体运动:$\overline{v_r}=\sqrt{2}\bar{v}$,单位体积分子数n

平均自由程$\bar{\lambda }$：

一个分子在两次连续碰撞间自由运动的平均路程
$\overline{\lambda }=\frac{t\overline{v}}{t\overline{Z}}=\frac{\overline{v}}{\overline{Z}}=\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^{2}n}$
证明:单位时间内总路程➗单位时间内碰撞数(平均碰撞频率)

实际气体的范德瓦尔斯方程

进一步对压强，体积进行修正(讨论1mol理想气体):

体积的修正:

考虑到气体分子有体积,别的气体分子不能进入到气体分子中,实际体积偏小
设气体体积为$V_0$,每个气体分支周围$4V_0$内不可压缩,故:
1mol分子不可压缩体积$b=4N_A{V}_0$
实际分子活动空间:$V-b$

压强的修正

考虑气体分子之间有引力,当与器壁碰撞时只受到内部的引力,实际压强偏小
有:
$p_i\propto 器壁附近受力的分子数\propto n$
$p_i\propto 吸引器壁附近分子的内部分子数\propto n$
所以:$p_i\propto n^2\propto \frac{1}{V^2}$
$p_i=\frac{a}{V^2}$ 实际：$p_i=a{\left(\frac{\nu }{V}\right)}^2$

$\left(p+\frac{a}{V^2}\right)(V-b)=RT$(1mol气体,$\nu$=1)
$p=\frac{RT}{V-b}-\frac{a}{V^2}$

实际气体:

对$\nu =\frac{m}{M}$ mol气体:

$[p+a(\frac{\nu }{V}{)}^2](V-\nu b)=\nu RT$
本质是将体积和压强都修正为理想气体

热力学基础

准静态过程

热力学第一定律V

计算热量

$Q=\Delta E-A$

摩尔热容量

plus：气体摩尔热容可以是负值（放热）

定体摩尔热容

没有做功，A=0
$Q_V=\Delta E=\nu \frac{i}{2}R\Delta T$
$C_V=\frac{i}{2}R$

定压摩尔热容

$-A=p\Delta V=\nu R\Delta T$
$\therefore Q_P=-A+\Delta E=\nu R\Delta T+\nu \frac{i}{2}R\Delta T=\nu \frac{i+2}{2}R\Delta T$
$C_P=\frac{i+2}{2}R$

摩尔热容比

$\gamma =\frac{C_p}{C_v}=\frac{\frac{i+2}{2}R}{\frac{i}{2}R}=\frac{i+2}{i}$
$C_V=\frac{R}{\gamma -1}$

等温过程

$\Delta E=0$，$\Delta T=0$
$Q=-A=\int pdV=\int \frac{\nu RT}{V}dV=\nu RT{\int }_{V_1}^{V_2}\frac{1}{V}dV=vRT\ln \frac{V_2}{V_1}=vRT\ln \frac{p_1}{p_2}$
$C_T=\frac{Q}{\nu \Delta T}\to +\infty$

绝热过程*

$Q=0$ $C=0$
$\Delta E=A$
$\therefore -A=-\Delta E=-\nu C_V\Delta T$(此时做功为关于T的函数)
也有$-A=-\frac{\nu R}{\gamma -1}\Delta T=-\frac{\Delta (pV)}{\gamma -1}$(此时做功关于pV的函数，可用pV图求解了)

$p{V}^{\gamma }$和$T{V}^{\gamma -1}$为常量

等温线与绝热线比较

绝热线斜率>等温线斜率

总结

解题技巧

循环过程

经历一个循环，内能不变。$\Delta E=0$

热机

正循环（pV图中顺时针，系统对外做功）
工作机制：从高温热源吸收热量，对外做功，存在向低温热源放热的损耗热力学基础-2, p.3

热机效率

$\eta =\frac{-A}{Q_{吸}}=\frac{Q_1-|Q_2|}{Q_1}$

致冷机

逆循环（外接对系统做功）
工作机制：外界对系统做功，使系统从低温源吸收热量，向高温源放出热量（目的是使低温源降温）

致冷系数

$w=\frac{Q_{吸}}{A}=\frac{Q_{吸}}{|Q_{放}|-Q_{吸}}$

解题

1. 判断正循环还是逆循环（画出pV图）
2. 判断用A算【pV图可解面积】还是用Q算
3. 求Q,判断吸热/放热/不吸不放，分开处理

卡诺循环

高温热源 T1 , 低温热源 T2 (字母一定)
整个循环由两个等温过程和两个绝热过程组成
热力学基础-2, p.14

特殊结论

热温比相等

$\frac{Q_1}{T_1}+\frac{Q_2}{T_2}=0或\frac{Q_1}{T_1}=-\frac{Q_2}{T_2}=\frac{|Q_2|}{T_2}$
热机：${\eta }_{卡诺}=\frac{-A}{Q_{吸}}=1-\frac{|Q_2|}{Q_1}=1-\frac{T_2}{T_1}$温差越大，热机效果越好
致冷机：$w_{卡诺}=\frac{Q_{吸}}{A}=\frac{Q_2}{|Q_1|-Q_2}=\frac{1}{|\frac{Q_1}{Q_2}|-1}=\frac{1}{\frac{T_1}{T_2}-1}=\frac{T_2}{T_1-T_2}(T_2\uparrow \Rightarrow w_{卡诺}\uparrow )$温差越小，热机效果越好
求效率只需要知道两温度即可

A,Q1,Q2的互求性

知道两温度的前提下你，只要知道A,Q_1,Q_2中任意一个值，即可求其他

热力学第二定律

开尔文表述

热力学基础-3, p.3

单一热源

热源、系统温度不变。恒温、均匀热源

否定了第二类永动机
对热机，热机效率小于1

克劳修斯表述

热力学基础-3, p.3

从低温物体传向高温物体

都是单一热源

致冷机，w无法趋近于infty

两表述等效性

热力学基础-3, p.4

实质

可逆过程

定义：准静态过程+无耗散
热力学基础-3, p.6

本质

克氏表述指明热传导过程是不可逆的
开氏表述指明功变热的过程是不可逆的

卡诺定理

热力学基础-3, p.10
卡诺循环是热机效率的极限
$\eta \le {\eta }_c=1-\frac{T_2}{T_1}$

熵

引入：【自发（不可逆）过程的方向性】不可逆过程的不可逆性，决定于它的初态与末态，所以引入一个只有初末态有关的状态函数，判断过程的方向
热力学基础-3, p.13
有$\oint (\frac{dQ}{T}{)}_{可逆}=0$
定义熵S：
$dS=\frac{dQ}{T}$
$\Delta S=S_b-S_a={\int }_a^b\frac{dQ}{T}$
【注意，熵与热温比的关系只在可逆过程成立】
热力学基础-3, p.15
状态量，可逆过程
与势能相似，没有绝对熵，只有熵变

计算【对于可逆过程】

热力学基础-3, p.16
通过$dS=\frac{dQ}{T}$进行积分运算

1. 只与初末态有关
2. 只适用与可逆过程，因为可逆过程热温比才有意义
3. 由于熵变只有初末态有关，只要在两个状态中构建一个可逆过程即可
4. 特殊的，物体可逆相变化(等温等压)时熵变的计算：$\Delta S_{相变}=\frac{Q}{T}$
5. 对任意初态的气体熵变公式：

熵增加原理

孤立系统的自发过程总是向着熵增大的方向进行，当熵达到极大时，孤立系统达到平衡态
热力学基础-3, p.24
${\oint }_{不可逆}\frac{dQ}{T}<0$
$dS\ge \frac{dQ}{T}$
$S_B-S_A\ge {\int }_A^B\frac{dQ}{T}$ （=可逆，>不可逆）
$\because$孤立系统$dQ=0$
$\therefore dS\ge 0$

统计意义

玻尔兹曼关系*

热力学基础-3, p.29
熵本质上有确定值，与势能随意定势能零点还是有区别的

电磁学

从实验定理推到基本定理

适用条件

静电场 —— 相对于观察者(惯性系)为静止的电荷所激发的场。
【性质：电荷是洛伦兹变换下的不变量】

库仑定理

注意正负号
是真空中,两个静止的点电荷间的相互作用.

电场

电荷间相互作用是通过电场以光速传递的
“场”是一种物质
作用：场源电荷→静电场→电荷

电场叠加原理

【物理量对应的物理规律是线性的，则物理量有叠加原理】

对连续分布的：

连续带电体

圆环

静电场-1, p.24

圆盘

直线

电场线

表示大小方向

性质

静电场-2, p.4

电通量

大小：
$d\varphi =\vec{E}d\vec{S}=EdS\cos \theta =Ed{S}_{\perp }$
方向：
非闭合：随意取法向
闭合：取外法线方向 ，(自内向外) 为正

高斯定理

证明

引入立体角概念

Transclude of 2025.5.27---11.07am.writing

应用

利用对称性，先处理合场强方向问题，使 $EdS\cos \theta$ 中 E 与 $\cos \theta$ 为常量，提出，简化计算
基本结论
叠加原理

典型结论

球体

• 球外部近似为点电荷：$k\frac{q}{r^2}$
• 球内部：$k\frac{q}{R^3}r$

无限长柱面

构造柱体高斯面，由于柱无限长，可知电场沿法线方向
$\therefore E\cdot 2\pi rl=\frac{q}{ϵ0}=\frac{\lambda l}{ϵ0}$
$E=\frac{1}{2\pi {ϵ}_0}\frac{\lambda }{r}$

无限大平板

构造对称高斯柱面，由于板无线大，电场沿板两侧法向方向
$\therefore E\cdot 2\pi r^2=\sigma \cdot \frac{\pi r^2}{{ϵ}_0}$
$E=\frac{\sigma }{2{ϵ}_0}$