留数计算（与留数定理）

Abstract

1. 奇点类型（确保奇点落在定义域内）
2. 是否比值 ，选择方法算留数

计算

1. 罗朗级数-1 项
2. 分类性质
   1. 可去奇点：0（当成 m 阶零点算也可以，反正是 0）
   2. m 阶极点：$\text{Res}[f(z),z_0]=\frac{1}{(m-1)!}{\lim }_{z\to z_0}\frac{d^{m-1}}{d{z}^{m-1}}[(z-z_0{)}^{m}f(z)]$（一阶极点：$\text{Res}[f(z),z_0]={\lim }_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)$）
      1. 推论 1：若 $f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$，$z_0$ 是 $Q(z)$ 的一阶零点且 $P(z_0)\ne 0$，则 $\text{Res}[f(z),z_0]=\frac{P(z_0)}{Q^{\prime }(z_0)}$
      2. 推论 2：若 $f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$，$z_0$ 是 $Q(z)$ 的 $n$ +1 阶零点且是 $P(z)$ 的 n 阶零点，则 $\text{Res}[f(z),z_0]=(n+1)\frac{P^{(n)}(z_0)}{Q^{(n+1)}(z_0)}$
      3. 推论 3：若 $f(z)=\frac{\varphi (z)}{(z-z_0{)}^n}$，其中 $\varphi (z)$ 在 $z_0$ 处解析且 $\varphi (z_0)\ne 0$，则 $z_0$ 是 $f(z)$ 的 $n$ 阶极点，且 $\text{Res}[f(z),z_0]=\frac{{\varphi }^{(n-1)}(z_0)}{(n-1)!}$ 【就是柯西积分公式】
      4. 推论 4：若 $f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$，$z_0$ 是 $Q(z)$ 的二阶零点且 $P(z_0)\ne 0$，则 $\text{Res}[f(z),z_0]=\frac{2P^{\prime }(z_0)}{Q^{\prime \prime }(z_0)}-\frac{2P(z_0)Q^{\prime \prime \prime }(z_0)}{3[Q^{\prime \prime }(z_0){]}^2}$
   3. 本性奇点：无法求
3. 留数基本定理：若函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内除有限个孤立奇点 $z_1,z_2,\dots ,z_n$ 外处处解析，$C$ 是 $D$ 内包围这些奇点的任意一条简单闭曲线，则：${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i{\sum }_{k=1}^n\text{Res}[f(z),z_k]$
4. 推论：无穷远点的留数：若函数 $f(z)$ 在无穷远点邻域内解析，则 $\text{Res}[f(z),\infty ]=-\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{C^{-}}f(z)dz=-\mathrm{Re}s\left[f\left(\frac{1}{z}\right)\frac{1}{z^2};0\right]$，其中 $C^{-}$ 是绕无穷远点的顺时针方向闭曲线
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