复数项幂级数

关系

复数序列 $z_n$
部分和存在极限 $li{m}_{n\to +\infty }{\sum }_1^n{z}_n$ →> 幂级数收敛 ${\sum }_{n=1}^{+\infty }{z}_n$
级数 $\sum z_n$ 收敛的充要条件：$\sum a_n,\sum b_n$ 都收敛

幂级数求收敛半径

阿贝尔定理
幂级数 ${\sum }_{n=0}^{+\infty }{C}_n{z}^n$, 有结论
${\lim }_{n\to \infty }|\frac{c_{n+1}}{c_n}|R=1$
${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{c_n}R=1$

性质

1. 求导积分可切换： S（z）在|z|<R 处解析（可求 n 阶导）
2. 加减可切换（乘除也可切换【除法：使用长除法】）： C 时|z|<R 内光滑曲线，有 ${\int }_{c}S(z)dz={\int }_c{\sum }_{n=0}^{+\infty }{C}_n{z}^{n}dz={\sum }_{n=0}^{+\infty }{C}_n{\int }_c{z}^{n}dz$